Question

18．在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓C₁：ρ=4cosθ 與直線l：θ=$\frac{π}{4}$ （ρ∈R）交于A，B兩點．
（Ⅰ）求以AB為直徑的圓C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）在圓C₁任取一點M，在圓C₂上任取一點N，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 圓C₁：ρ=4cosθ 化為ρ²=4ρcosθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出圓C₁的直角坐標(biāo)方程．由直線l：θ=$\frac{π}{4}$ （ρ∈R）可得直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，又經(jīng)過原點，即可得出直角坐標(biāo)方程．聯(lián)立解得A，B坐標(biāo)，即可得出圓的方程．再將其化為極坐標(biāo)方程即可．
（II）利用|MN|_max=|C₁C₂|+r₁+r₂即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則由題意得
圓C₁：ρ=4cosθ 化為ρ²=4ρcosθ，∴圓C₁的直角坐標(biāo)方程 x²+y²-4x=0．
直線l的直角坐標(biāo)方程 y=x．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}$或 $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}$．
∴A（0，0），B（2，2）．
從而圓C₂的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+（y-1）²=2，即x²+y²=2x+2y．
將其化為極坐標(biāo)方程為：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ．
（Ⅱ）∵${C_1}（2，0），{r_1}=2，{C_2}（1，1），{r_2}=\sqrt{2}$，
∴|MN|_max=|C₁C₂|+r₁+r₂=$\sqrt{2}$+2+$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化、兩圓的位置關(guān)系、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．