Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知sin（A+$\frac{π}{6}$）+2cos（B+C）=0，
（1）求A的大小；   
（2）若a=6，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和公式和誘導(dǎo)公式對原等式整理可求得tanA的值，進而取得A．
（2）根據(jù)正弦定理表示出b和c，求得b+c的表達式，化簡整理，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其最大值，結(jié)合兩邊之和大于第三邊求得范圍．

解答 解：（1）由條件結(jié)合誘導(dǎo)公式得，sinAcos$\frac{π}{6}$+cosAsin$\frac{π}{6}$=2cosA，
整理得sinA=$\sqrt{3}$cosA，
∵cosA≠0，
∴tanA=$\sqrt{3}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）由正弦定理得：$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{6}{{sin\frac{π}{3}}}=4\sqrt{3}$，
∴$b=4\sqrt{3}sinB$，$c=4\sqrt{3}sinC$，
∴$b+c=4\sqrt{3}（sinB+sinC）=4\sqrt{3}[{sinB+sin（\frac{2π}{3}-B）}]$=$4\sqrt{3}（{\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB}）=12（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB}）$=$12sin（{B+\frac{π}{6}}）$，
∵$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$6＜12sin（{B+\frac{π}{6}}）≤12$，即6＜b+c≤12（當(dāng)且僅當(dāng)B=$\frac{π}{3}$時，等號成立）

點評 本題主要考查了正弦定理的運用，兩角和公式的運用．考查了學(xué)生綜合運用知識的能力和一定的運算能力．