Question

【題目】已知

（I）求函數(shù)的極值；

（II）若方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）時(shí)，沒(méi)有極值，時(shí)有極小值；（II）或.

【解析】

（I）先根據(jù)題意，求出，再求出，然后對(duì)a進(jìn)行討論，求得的單調(diào)性，然后取得極值.

（II）僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即有唯一零點(diǎn)，然后求得

，再對(duì)a進(jìn)行討論，討論單調(diào)性，求得的最小值，再利用零點(diǎn)存在性定理，最后求得a的取值.

（I）,

當(dāng) ， ，在上是增函數(shù)，

所以，函數(shù)沒(méi)有極值.

（2）若，

所以在是減函數(shù)，在是增函數(shù)

所以在取極小值，極小值為

（II）僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即有唯一零點(diǎn).

當(dāng)，，此時(shí)在R上遞增，

因?yàn)?/span>，

所以在遞減；在遞增，

，當(dāng)x=0取等號(hào)，

所以滿(mǎn)足題意；

當(dāng)時(shí)，

所以在遞減，上遞增；

令

此時(shí)當(dāng)上，遞增；當(dāng)上，遞減；

當(dāng)且緊當(dāng)取等號(hào)，

所以（1）當(dāng)，，且

因?yàn)?/span>（利用：當(dāng)時(shí)， ），所以

由零點(diǎn)存在性定理，可得存在唯一使得，注意（）

于是，當(dāng)遞增；當(dāng)遞減；當(dāng)遞增；

于是

且當(dāng)

由零點(diǎn)存在性定理：必然存在一個(gè)使得

此時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)，可見(jiàn)不滿(mǎn)足題意；

（2）當(dāng)時(shí)，，且

此時(shí)，且（這里利用 ）

由零點(diǎn)存在性定理：必然存在唯一，使得=0

此時(shí)在遞增；在遞減；

在遞增

可見(jiàn)，

且當(dāng)

由零點(diǎn)存在性定理：必然存在唯一一個(gè)，使得

此時(shí)，存在兩個(gè)零點(diǎn)，可見(jiàn)不滿(mǎn)足題意；

（3）當(dāng)時(shí)，則

此時(shí)在R上遞增，且，

所以此時(shí)有唯一一個(gè)零點(diǎn)

所以滿(mǎn)足題意

綜上，a的取值范圍為