Question

下列命題：
①△ABC的三邊分別為a，b，c，則該三角形是等邊三角形的充要條件為a²+b²+c²=ab+ac+bc；
②數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S_n=An²+Bn是數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列的必要不充分條件；
③在△ABC中，A=B是sin A=sin B的充分必要條件；
④已知a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂都是不等于零的實數(shù)，關(guān)于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分別為P，Q，
則

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是P=Q的充分必要條件，其中正確的命題是（　�。�

• A、①④
• B、①②③
• C、②③④
• D、①③

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①：顯然a=b=c能推出右邊，從右推左邊時，應(yīng)將式子適當(dāng)變形，能夠得到三數(shù)相等；
對于②：按照由和推項的方法推出通項公式，可以判斷是否為充分條件，依此即可得出真假；
對于③：結(jié)合三角形內(nèi)角的范圍及內(nèi)角和定理以及正弦函數(shù)的單調(diào)性可以判斷；
對于④：舉個反例即可說明必要性不成立．

解答： 解：對于①：顯然必要性成立，反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，則2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時成立故充分性成立，故①是真命題；
對于②：由S_n=An²+Bn得a₁=A+B，n≥2時，a_n=s_n=s_n-1=2An-A+B，顯然n=1時適合該式，因此數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，故滿足充分性，故②是假命題；
對于③：在三角形中A=B?a=b，又由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，則a=b?sinA=sinB，所以A=B?sinA=sinB，故③是真命題；
對于④：實際上不等式x²+x+5＞0與x²+x+2＞0的解集都是R，但是

1

1

=

1

1

≠

5

2

，故不滿足必要性，故④是假命題．
故選D．

點評：本題是簡易邏輯與其它知識的綜合考查，實際上已命題真假的判斷方法為手段考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識，前提是必須熟練準(zhǔn)確理解基本概念，掌握基本方法．