Question

5．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=3，直線AD₁，DC₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{19}}{10}$．

Answer 1

分析 取四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直棱柱，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出直線AD₁，DC₁所成角的正弦值．

解答 解：取四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直棱柱，
以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
建立空間直角坐標系，
∵AB=BC=1，AA₁=3，
∴A（1，0，0），D₁（0，0，3），D（0，0，0），C₁（0，1，3），
$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，3），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，1，3），
設(shè)直線AD₁，DC₁所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{D{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{D}_{1}}|•|\overrightarrow{D{C}_{1}}|}$=$\frac{|9|}{\sqrt{10}•\sqrt{10}}$=$\frac{9}{10}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{9}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{10}$．
∴直線AD₁，DC₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{19}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{19}}{10}$．

點評 本題考查兩直線所成角的正弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．