Question

16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上異于A，B的點，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．
（Ⅰ）若點D在△VCB內(nèi)，且DO∥面VAC，作出點D的軌跡，說明作法及理由；
（Ⅱ）求三棱錐V-ABC體積的最大值，并求取到最大值時，直線AB與平面VAC所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取VB，CB的中點，分別記為E，F(xiàn)，連結(jié)E，F(xiàn)，由E，F(xiàn)分別為VB、CB的中點，得EF∥VC，從而DO∥面VAC，由此得到D點軌跡是EF．
（Ⅱ）設d為點C到直線AB的距離，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是$\widehat{AB}$的中點時，（V_V-ABC）_max=4，此時VC⊥BC，AC⊥BC，從而BC⊥面VAC，進而∠CAB是直線AB與面VAC所成的角，由此能求出三棱錐V-ABC體積取到最大值時，直線AB與平面VAC所成角為45°．

解答 解：（Ⅰ）取VB，CB的中點，分別記為E，F(xiàn)，
連結(jié)E，F(xiàn)，則線段EF即為點D的軌跡，如圖所示．
理由如下：
∵E，F(xiàn)分別為VB、CB的中點，
∴EF∥VC，
又EF?面VAC，VC?面VAC，
又D∈EF，OD?面EOF，
∴DO∥面VAC，
∴D點軌跡是EF．
（Ⅱ）設d為點C到直線AB的距離，
∵VC⊥面ABC，
∴${V}_{V-ABC}=\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×VC$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×|AB|×d×|VC|$
=$\frac{1}{6}×4×d×3×2d$，
∵d∈（0，2]，∴當d=2，即C是$\widehat{AB}$的中點時，
（V_V-ABC）_max=4，
∵VC⊥面ABC，BC?面ABC，∴VC⊥BC，
∵AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，∴AC⊥BC，
∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，
∴AC是AB在面VAC上的射影，
∴∠CAB是直線AB與面VAC所成的角，
∵C是$\widehat{AB}$的中點，
∴CA=CB，∴∠CAB=45°，
∴三棱錐V-ABC體積取到最大值時，直線AB與平面VAC所成角為45°．

點評 本題考查點的軌跡的作法，考查三棱錐的體積的最大值的求法及相應的角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．