Question

4．如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=4，CD=2，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)．
（1）求幾何體ABCDE的體積；
（2）求證：AF⊥BD．

Answer 1

分析 （1）把三棱錐E-ABD的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐B-AED的體積，然后通過解三角形求得三棱錐B-AED的底面邊長和高，則棱錐的體積可求．
（2）由已知條件推導(dǎo)出AF⊥BE，CG⊥AB，DF⊥AB，DF⊥FG，從而AF⊥平面BDF，由此能證明AF⊥BD．

解答 解：（1）∵AB=4，AE=4，CD=2，
△ABC是正三角形，∴AC=4
∵AE⊥平面ABC，∴EA⊥AC，
則S_△EAD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
又平面EACD⊥面ABC，
在平面ABC內(nèi)過B作BH⊥AC，則AH⊥面ACDE，
在等邊三角形ABC中，求得AH=2$\sqrt{3}$，
∴V_E-ABCD=V_B-AEDC=$\frac{1}{3}$S_AEDC•AH=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{4+2}{2}×4×2\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．
（2）證明：Rt△ABE中，AE=4，AB=4，
F為BE中點(diǎn)，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

點(diǎn)評 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．