Question

15．某校高一學(xué)生共有500人，為了了解學(xué)生的歷史學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，對(duì)他們一年來4次考試的歷史平均成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到頻率分布直方圖如圖所示，后三組頻數(shù)成等比數(shù)列．
（1）求第五、六組的頻數(shù)，補(bǔ)全頻率分布直方圖；
（2）若每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值（例如區(qū)間[70，80）的中點(diǎn)值是
75作為代表），試估計(jì)該校高一學(xué)生歷史成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)和平均分．

Answer 1

分析 （1）利用頻率分布直方圖中利用縱坐標(biāo)乘以組距求出第四組的頻率，利用頻率乘以樣本容量求出頻數(shù)，利用等比數(shù)列的中項(xiàng)列出方程求出第五、六組的頻數(shù)．
（2）由頻率分步直方圖知用每組的中間值作為每組中的樣本數(shù)據(jù)，直接計(jì)算平均成績(jī)，根據(jù)中位數(shù)的左右兩邊矩形面積相等，來求中位數(shù)，眾數(shù)就是分布圖里最高的那條，即[60，70]的中點(diǎn)橫坐標(biāo)65．

解答 解：（1）設(shè)第五、六組的頻數(shù)分別為x，y，由題設(shè)得，第四組的頻數(shù)是0.024×10×50=12，
則x²=12y，
又x+y=50-（0.012+0.016+0.03+0.024）×10×50，即x+y=9，
∴x=6，可得：y=3．
補(bǔ)全頻率分布直方圖如下：

（2）該校高一學(xué)生歷史成績(jī)的平均分$\overline{x}$=（45×0.012+55×0.016+65×0.030+75×0.024+85×0.012+95×0.006）=67.6，
由0.12+0.16=0.28，0.12+0.16+0.3=0.58，
可知中位數(shù)在第三小組內(nèi)，設(shè)這次考試的中位數(shù)為x，
則0.12+0.16+0.030（x-60）=0.5，解得x=67.3，故中位數(shù)為67.3．
眾數(shù)就是分布圖里最高的那條，即[60，70]的中點(diǎn)橫坐標(biāo)65，故眾數(shù)為65，

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了頻率分布直方圖、用樣本估計(jì)總體、等可能事件的概率，同時(shí)考查了作圖能力，從頻率分布直方圖中獲取的相關(guān)的數(shù)據(jù)，并正確的處理解答本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．