Question

4．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁，2a₂，a₃+6成等差數(shù)列，且a₄²=9a₁a₅，
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（log${\;}_{\sqrt{3}}$a_n+1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=（log${\;}_{\sqrt{3}}$a_n+1）•a_n=（2n+1）•3ⁿ．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁，2a₂，a₃+6成等差數(shù)列，∴2×2a₂=a₃+6+a₁，又a₄²=9a₁a₅，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}q={a}_{1}{q}^{2}+6+{a}_{1}}\\{（{a}_{1}{q}^{3}）^{2}=9{a}_{1}^{2}{q}^{4}}\end{array}\right.$，解得a₁=q=3．
∴a_n=3ⁿ．
（II）b_n=（log${\;}_{\sqrt{3}}$a_n+1）•a_n=（2n+1）•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）•3ⁿ．
3T_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3²+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=$2×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$+3-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．