Question

3．某幾何體三視圖如右，其中左視圖是邊長為2的正三角形，主視圖為矩形且AA₁=3，D為AA₁中點(diǎn)．
（1）求該幾何體的體積；
（2）求證：平面BB₁C₁C⊥平面BDC₁； 
（3）BC邊上是否存在點(diǎn)P，使AP∥平面BDC₁．若存在，證明該結(jié)論，不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中的三視圖有兩個(gè)矩形一個(gè)三角形，可得該幾何體是一個(gè)以左視圖所示的三角形為底面的正三棱柱，根據(jù)左視圖是邊長為2，AA₁=3，我們分別確定出棱柱的底面面積和高，代入棱柱體積公式，即可得到答案．
（2）連接B₁C交BC₁于E點(diǎn)，則E為B₁C，BC₁的中點(diǎn)，連接DE，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BD=DC₁，又由D為AA₁的中點(diǎn)，可得DE⊥BC₁，結(jié)合 DE⊥B₁C和線面垂直的判定定理可得DE⊥平面BB₁C₁C，再由面面垂直的判定定理，即可證得平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（3）取BC的中點(diǎn)P，連接AP，由（2）中結(jié)論及正三棱柱的幾何特征，我們可證得四邊形APED為平行四邊形，進(jìn)而AP∥DE，再由線面平行的判定定理，即可得到答案．

解答 （1）解：由題意可知該幾何體為直三棱柱，它的直觀圖如圖所示：
∵幾何體的底面積S=$\sqrt{3}$，高h(yuǎn)=3
∴所求幾何體的體積V=Sh=3$\sqrt{3}$，
（2）證明：連接B₁C交BC₁于E點(diǎn)，則E為B₁C，BC₁的中點(diǎn)，連接DE
∵AD=A₁D，AB=A₁C₁，∠BAD=∠DA₁C₁=90°
∴△ABD≌△DA₁C₁，
∴BD=DC₁，
∴DE⊥BC₁，
又∵B₁C∩BC₁=E，
∴DE⊥平面BB₁C₁C
又∵DE?平面BDC₁，
∴平面BDC₁⊥平面BB₁C₁C
（3）解：取BC的中點(diǎn)P，連接AP，則AP∥BDC₁，
∴四邊形APED為平行四邊形
∴AP∥DE，
又∵DE?BDC₁，AP?BDC₁，
∴AP∥BDC₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，由三視圖求體積，直線與平面平行的判定，其中根據(jù)已知中的三視圖判斷出幾何體的形狀，進(jìn)而根據(jù)正三棱柱的幾何特征，得到其中的線面關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．