Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是兩個(gè)邊長為2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，點(diǎn)E在線段CD上．
（Ⅰ）當(dāng)

DE

EC

為何值時(shí)，AE⊥面PBD：
（Ⅱ）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）當(dāng)

DE

EC

=1時(shí)，AE⊥面PBD．當(dāng)

DE

EC

=1時(shí)，E為CD的中點(diǎn)，以此為條件，利用線面垂直的判定定理，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求出求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)

DE

EC

=1時(shí)，AE⊥面PBD．證明如下：
當(dāng)

DE

EC

=1時(shí)，E為CD的中點(diǎn)．
∵PD⊥PB，PB=PD=2，
∴BD=2

2

，
∵AB=AD=2，
∴AB²+AD²=BD²，
∴AB⊥AD，
∴四邊形DEBA是正方形，
∴AE⊥BD，
∵PA=PB=PD=2，
∴P在底面ABCD內(nèi)的射影O是△ABD的外心，
∵AB⊥AD，
∴O為BD的中點(diǎn)，
∴PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥AE，
∵PO∩BD=O，
∴AE⊥面PBD；
（Ⅱ）解：以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，過A且與面AC垂直的直線為z軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，

2

），
∴

DC

=（0，4，0），

DP

=（-1，1，

2

），

BC

=（2，2，0）

設(shè)平面PCD的法向量為

n

=（x，y，z），則

4y=0 -x+y+ 2 z=0

，
令z=1，可得

n

=（

2

，0，1），
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

| n || BC |

=

2 2

2+0+1 • 4+4+0

=

3

3

，
∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量法的運(yùn)用，正確求出平面的法向量是關(guān)鍵．