Question

3．已知f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）＜-xf′（x），則不等式f（$\sqrt{x}$+1）＞（$\sqrt{x}$-1）f（x-1）的解集是（　�。�

• A． （0，4）
• B． （1，4）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求不等式．

解答 解：設(shè)g（x）=xf（x），
則g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，
即當(dāng)x＞0時，函數(shù)g（x）=xf（x）單調(diào)遞減，
∵f（$\sqrt{x}$+1）＞（$\sqrt{x}$-1）f（x-1）
∴（$\sqrt{x}$+1）f（$\sqrt{x}$+1）＞（x-1）f（x-1），
∴g（$\sqrt{x}$+1）＞g（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{\sqrt{x}+1＜x-1}\end{array}\right.$，解得：x＞4
則不等式的解集為（4，+∞），
故選：D．

點評 本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．