Question

當(dāng)x∈[-2，1]時，不等式ax³-x²+4x+3≥0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分x=0，0＜x≤1，-2≤x＜0三種情況進行討論，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值即可，利用導(dǎo)數(shù)即可求得函數(shù)最值，注意最后要對a取交集．

解答： 解：當(dāng)x=0時，不等式ax³-x²+4x+3≥0對任意a∈R恒成立；
當(dāng)0＜x≤1時，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≥

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
令f（x）=

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，則f′（x）=-

1

x2

+

8

x3

+

9

x4

=-

(x-9)(x+1)

x4

（*），
當(dāng)0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（1）=-6，∴a≥-6；
當(dāng)-2≤x＜0時，ax³-x²+4x+3≥0可化為a≤

1

x

-

4

x2

-

3

x3

，
由（*）式可知，當(dāng)-2≤x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)-1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（-1）=-2，∴a≤-2；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是-6≤a≤-2，即實數(shù)a的取值范圍是[-6，-2]．
故答案為：[-6，-2]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數(shù)范圍取交集．若按照參數(shù)討論則取并集，是中檔題．