Question

在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的大�。�
（2）設O為△ABC的外心（三角形各邊中垂線的交點），當BC=

13

，△ABC的面積為3

3

時，求

AO

•

BC

的值；
（3）設AD為△ABC的中線，當BC=2

3

時，求AD長的最大值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：計算題,三角函數的求值,解三角形,平面向量及應用

分析：（1）由正弦定理將角化為邊，再由余弦定理，即可求得A；
（2）運用余弦定理和面積公式，計算可得b，c，再由向量的數量積的定義和等腰三角形的性質，即可計算得到；
（3）由余弦定理，結合基本不等式可得b²+c²≤24，再由余弦定理求得中線長與b，c的關系，即可得到AD的最大值．

解答： 解：（1）由（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，
運用正弦定理可得，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
即（b+c）²-a²=3bc，即b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
由A為三角形的內角，則A=60°；
（2）如圖O為△ABC的外心，連接OB，OC．
取AB的中點M，AC的中點為N，連接OM，ON，
則OM⊥AB，ON⊥AC，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos60°，
即13=b²+c²-bc，
又S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=3

3

，
即有bc=12，
解得b=3，c=4或b=4，c=3．
則

AO

•

BC

=

AO

•（

AC

-

AB

）=

AO

•

AC

-

AO

•

AB

=|

AM

|•|

AC

|-|

AN

|•|

AB

|=

1

2

b²-

1

2

c²=

1

2

×（3²-4²）=-

7

2

或=

1

2

×（4²-3²）=

7

2

；
（3）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos60°，
即12=b²+c²-bc，
由2bc≤b²+c²，
可得12≥

1

2

（b²+c²），
即b²+c²≤24，當且僅當b=c取等號．
由余弦定理可得cos∠ADB=

3+AD2-c2

2 3 AD

，cos∠ADC=

3+AD2-b2

2 3 AD

，
∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，
即有6+2AD²=b²+c²，
則有6+2AD²≤24，解得AD≤3．
當且僅當b=c=2

3

時，AD取最大值3．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運用，同時考查向量的數量積的定義和基本不等式的運用，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．