Question

17．已知f（x）=lnx，g（x）=-$\frac{m}{2}{x^2}+（{m+1}）x，m＞0$．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），討論h（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）＜g（x）在（0，m）上恒成立，求m的最大整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，令h′（x）=0，求得可能的極值點(diǎn)，根據(jù)m的取值范圍，即可求得h（x）的單調(diào)性；
（2）由（1）可知，h（x）＜0在（0，m）上恒成立，欲使h（x）＜0在（0，m）上恒成立，則只須h（m）≤0，即可求得m的最大整數(shù)．

解答 解：（1）由$h（x）=lnx+\frac{m}{2}{x^2}-（{m+1}）x$的定義域?yàn)閧x|x＞0}，求導(dǎo)，$h'（x）=\frac{1}{x}+mx-（{m+1}）=\frac{{m{x^2}-（{m+1}）x+1}}{x}=\frac{{（{mx-1}）（{x-1}）}}{x}$．
令h'（x）=0得$x=\frac{1}{m}$或x=1．
∴當(dāng)m=1時，h'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞1時，令h'（x）＞0，得$x∈（{0，\frac{1}{m}}）∪（{1，+∞}）$，令h'（x）＜0，得$x∈（{\frac{1}{m}，1}）$，
∴h（x）在$（{0，\frac{1}{m}}）$，（1，+∞）上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{m}，1}）$上單調(diào)遞減；
當(dāng)0＜m＜1時，令h'（x）＞0，得$x∈（{0，1}）∪（{\frac{1}{m}，+∞}）$，令h'（x）＜0，得$x∈（{1，\frac{1}{m}}）$，
∴h（x）在$（{0，1}），（{\frac{1}{m}，+∞}）$上單調(diào)遞增，在$（{1，\frac{1}{m}}）$上單調(diào)遞減．
（2）由（1）可知，h（x）＜0在（0，m）上恒成立，
當(dāng)0＜m≤1時，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴$h（x）≤h（1）=0+\frac{m}{2}-m-1=-\frac{m}{2}-1＜0$，
故0＜m≤1時，h（x）＜0在（0，m）上恒成立．
當(dāng)m＞1時，h（x）在$（{0，\frac{1}{m}}）$上單調(diào)遞增，在$（{\frac{1}{m}，1}）$上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
而$h（{\frac{1}{m}}）=ln\frac{1}{m}+\frac{1}{2m}-1-\frac{1}{m}=ln\frac{1}{m}-\frac{1}{2m}-1＜0$，
欲使h（x）＜0在（0，m）上恒成立，則只須h（m）≤0，
∵$h（m）=lnm+\frac{m^3}{2}-m（{m+1}）$，
當(dāng)m=2時，h（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，
當(dāng)m=3時，$h（3）=ln3+\frac{27}{2}-12=ln3+\frac{3}{2}＞0$，
故m的最大整數(shù)為2．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)與最值，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，屬于中檔題．