Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-{2}^{1-x}（x≥1）}\\{{x}^{3}-3x+2（x＜1）}\end{array}\right.$，且方程f（x）=a有兩個不同實根，則實數(shù)a范圍是（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，1）
• C． （1，5）
• D． [1，4）

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)y=f（x）和直線y=a有兩個交點．討論當(dāng)x≥1時，當(dāng)x＜1時，函數(shù)的單調(diào)性，畫出y=f（x）的圖象，通過圖象觀察直線y=a與y=f（x）圖象的交點情況，即可得到所求范圍．

解答 解：方程f（x）=a有兩個不同實根，
即為函數(shù)y=f（x）和直線y=a有兩個交點．
當(dāng)x≥1時，y=1-2^1-x遞增，且y＜1；
當(dāng)x＜1時，y=x³-3x+2的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²-3，
當(dāng)x＜-1時，y′＞0，函數(shù)y=x³-3x+2遞增，
當(dāng)-1＜x＜1時，y′＜0，函數(shù)y=x³-3x+2遞減．
畫出函數(shù)y=f（x）的圖象，
由圖象可得，當(dāng)直線y=a（1≤a＜4）時，
與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個交點．
故選：D．

點評 本題考查方程根的個數(shù)的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為直線和曲線的交點，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．