Question

13．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為A₁D₁和CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ACD₁；
（Ⅱ）求證：平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁
（Ⅲ）求異面直線EF與AB所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，利用空間向量的知識來證明．

解答 解：（I）以D為原點，以DA，DC，DD₁為坐標軸建立空間直角坐標系D-xyz，如圖所示：
設正方體棱長為1，AD₁的中點為M，則C（0，1，0），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），E（$\frac{1}{2}$，0，1），F(xiàn)（0，1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{FE}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{FE}$，∴CM∥FE，
又CM?平面ACD₁，F(xiàn)E?平面ACD₁，
∴EF∥平面ACD₁．
（II）$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{AC}$=-1+1+0=0，$\overrightarrow{D{B}_{1}}•\overrightarrow{A{D}_{1}}$=-1+0+1=0，
∴DB₁⊥平面ACD₁，又DB₁?平面BDD₁B₁，
∴平面ACD₁⊥平面BDD₁B₁．
（III）$\overrightarrow{AB}$=（0，1，0），$\overrightarrow{FE}$=（$\frac{1}{2}$，-1，$\frac{1}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{-1}{1•\frac{\sqrt{6}}{2}}$=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴異面直線EF與AB所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，異面直線所成角的計算，屬于中檔題，通常用空間向量來進行簡化證明．