Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a$\frac{x-2}{x+2}$（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）是否存在實數(shù)a，使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[log_an+1，log_am+1]？若存在．求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）要使函數(shù)有意義，必須要求真數(shù) $\frac{x-2}{x+2}$＞0即可；
（2）先看定義域是否關(guān)于原點對稱，然后在定義域內(nèi)判斷等式f（-x）=-f（x）是否成立；
（3）先假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[1+log_an，1+log_am]?函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]（m＞2）上單調(diào)遞減，且0＜a＜1．
?關(guān)于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)解，得到不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵$\frac{x-2}{x+2}$＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函數(shù)f（x）的定義域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）=loga $\frac{-x-2}{-x+2}$=loga $\frac{x+2}{x-2}$=-loga$\frac{x-2}{x+2}$=-f（x）．
及由（1）可知：函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱．
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（3）假設(shè)存在這樣的實數(shù)a，則由m＜n，log_am及l(fā)oga$\frac{m-2}{m+2}$有意義，
可知2＜m＜n．
由∵1+log_an＜1+log_am，∴l(xiāng)og_an＜log_am，
∴0＜a＜1．
令t=$\frac{x-2}{x+2}$，則t=1-$\frac{4}{x+2}$在區(qū)間[m，n]（m＞2）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，n]上單調(diào)遞減．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）{=log}_{a}^{\frac{m-2}{m+2}}=1{+log}_{a}^{m}}\\{f（n）{=log}_{a}^{\frac{n-2}{n+2}}=1{+log}_{a}^{n}}\end{array}\right.$，
∴m，n是方程loga$\frac{x-2}{x+2}$=1+logax的兩個大于2的根．方程可化為$\frac{x-2}{x+2}$=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．
上述問題?關(guān)于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)解．
令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{△{=（2a-1）}^{2}-8a＞0}\\{g（2）=8a＞0}\\{-\frac{2a-1}{2a}＞2}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$．
又0＜a＜1，
∴0＜a＜$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$．
故存在這樣的實數(shù)a，且a的取值范圍為（0，$\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$）．

點評 正確理解對數(shù)函數(shù)類型的自變量必須使真數(shù)大于0，掌握判斷函數(shù)的奇偶性的方法，及利用函數(shù)的單調(diào)性把要解決的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)有兩個大于某個正數(shù)的兩個零點的問題是解決問題的關(guān)鍵．