Question

18．現(xiàn)在人們都注重鍛煉身體，騎車或步行上下班的人越來越多，某公司甲、乙兩人每天可采用步行，騎車，開車三種方式上下班．步行到公司所用時間為1小時，騎車到公司所用時間為0.5小時，開車到公司所用時間為0.1小時．甲、乙兩人上下班方式互不影響．設甲、乙步行的概率分別為$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$；騎車概率分別為$\frac{1}{2}，\frac{1}{4}$．
（1）求甲、乙兩人到公司所用時間相同的概率；
（2）設甲、乙兩人到公司所用時間和為隨機變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由題意，得甲、乙開車的概率分別為$\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$，記甲、乙兩人到公司所用時間相同為事件A，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出．
（2）可能取的值由0.2，0.6，1.0，1.1，1.5，2．利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式及其數(shù)學期望計算公式即可得出．

解答 解：（1）由題意，得甲、乙開車的概率分別為$\frac{1}{4}，\frac{1}{4}$，
記甲、乙兩人到公司所用時間相同為事件A，
則$P（A）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{5}{16}$．
∴甲、乙兩人到公司所用時間相同的概率為$\frac{5}{16}$．
（2）可能取的值由0.2，0.6，1.0，1.1，1.5，2.$P（X=0.2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$；$P（X=0.6）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$；$P（X=1.0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$；$P（X=1.1）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{16}$；$P（X=1.5）=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$；$P（X=2）=\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$．
∴甲、乙兩人到公司所用時間之和X的分布列為

X	0.2	0.6	1.0	1.1	1.5	2
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{1}{8}$

∴$E（X）=0.2×\frac{1}{16}+0.6×\frac{3}{16}+1.0×\frac{1}{8}+1.1×\frac{3}{16}+1.5×\frac{5}{16}+2×\frac{1}{8}=\frac{47}{40}$（小時）．

點評 本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式及其數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．