Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點A，B分別是橢圓C的左、右頂點，點P是橢圓C上異于A，B兩點的任意一點，當(dāng)△PAB為等腰三角形時，則△PAB的面積為2，．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AP與直線x=4交于點M，直線MB交橢圓C于點Q，試問：直線PQ是否過定點？若是，求出定點的坐標(biāo)，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}•2a•b$=2，a²=b²+c²，解出即可得出．
（II）當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+m，代入橢圓方程可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，△＞0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（4，y₃），由A，P，M三點共線可得：$\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，由P，Q兩點在橢圓C上，可得：${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}=4$，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．代入①整理可得：2x₁•x₂-5（x₁+x₂）+8=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系整理可得：m²+5km+4k²=0，解得可得直線PQ經(jīng)過定點（1，0）．當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，直線PQ的方程為：x=1，也經(jīng)過定點（1，0）．

解答 解：（I）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}•2a•b$=2，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（II）當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為：y=kx+m，
代入橢圓方程可得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△＞0，可得m²＜4k²+1，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（4，y₃），由A，P，M三點共線可得：$\frac{{y}_{3}}{6}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，解得y₃=$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$．
同理可得：y₃=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，可得$\frac{3{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，①．
由P，Q兩點在橢圓C上，可得：${x}_{1}^{2}+4{y}_{1}^{2}=4$，${x}_{2}^{2}+4{y}_{2}^{2}$=4．
代入①整理可得：2x₁•x₂-5（x₁+x₂）+8=0，②
∴x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
代入②，整理可得：m²+5km+4k²=0，解得m=-k或m=-4k（舍去）．
∴直線PQ的方程為：y=k（x-1），即直線PQ經(jīng)過定點（1，0）．
當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，直線PQ的方程為：x=1，也經(jīng)過定點（1，0）．
綜上可得：直線PQ經(jīng)過定點（1，0）．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、直線經(jīng)過定點問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計算公式、三點共線與斜率的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．