Question

4．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，虛半軸長為1，離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l過點(diǎn)（4，-2），且與雙曲線有一個公共點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線的虛半軸長，以及離心率，求解雙曲線的幾何量，即可得到雙曲線方程．
（2）判斷點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系，利用雙曲線的簡單性質(zhì)求解直線的斜率，然后求解直線方程．

解答 解：（1）焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，虛半軸長為1，離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
可得b=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，
解得a²=3．
所求的雙曲線方程為：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$．
（2）由雙曲線的方程可知：
x=4時，y=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，$-\frac{\sqrt{39}}{3}＜-2＜0$，
可知點(diǎn)（4，-2）在雙曲線內(nèi)部，直線l過點(diǎn)（4，-2），且與雙曲線有一個公共點(diǎn)，可知直線的斜率為：$±\sqrt{3}$．
所求的直線方程為：y+2=$±\sqrt{3}$（x-4）．
直線l的方程：$\sqrt{3}x$-y-6=0或$\sqrt{3}x$+y-2=0．

點(diǎn)評 本題考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，雙曲線方程的求法，屬于中檔題．