Question

4．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$A{A_1}=\sqrt{6}$，則AA₁與平面AB₁C₁所成的角為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，$A{A_1}=\sqrt{6}$，
∴建立以A為坐標(biāo)原點，AC，AB，AA₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖．
則A₁（0，0，$\sqrt{6}$），A（0，0，0），B₁（0，2，$\sqrt{6}$），C₁（2，0，$\sqrt{6}$），
則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，$\sqrt{6}$），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（2，0，$\sqrt{6}$），
設(shè)平面AB₁C₁的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，$\sqrt{6}$），
則$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=2y+$\sqrt{6}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=2x+$\sqrt{6}$z=0，
令z=1，則x=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，y=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1），
則AA₁與平面AB₁C₁所成的角θ滿足sinθ=|cos＜$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}•\sqrt{（-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+（-\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
則θ=$\frac{π}{6}$，
故選：A．

點評 本題主要考查直線和平面所成角的求解，建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．