Question

11．若函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）在其定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，則實數(shù)b的取值范圍為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 由題意先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=2x+$\frac{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$，從而可得b=-（2x²+2x）在（-1，+∞）上有兩個不同的解，作函數(shù)的圖象解得．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域為（-1，+∞），
f′（x）=2x+$\frac{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$，
∵函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）在其定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=2x+$\frac{x+1}$=$\frac{2{x}^{2}+2x+b}{x+1}$=0在（-1，+∞）上有兩個不同的解，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）上有兩個不同的解，
即b=-（2x²+2x）在（-1，+∞）上有兩個不同的解，
作函數(shù)g（x）=-（2x²+2x）在（-1，+∞）上的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，0＜b＜$\frac{1}{2}$；
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，方程的解可化為函數(shù)的圖象的交點問題，從而解得．