Question

19．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-7，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，則關于x的方程f（x）=a（0＜a＜1）的所有根之和為（　�。�

• A． 3^-a-1
• B． 1-3^-a
• C． 3^a-1
• D． 1-3^a

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)得出當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-7，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，畫出圖象，根據(jù)對稱性得出零點的值滿足x₁+x₂，x₄+x₅的值，關鍵運用對數(shù)求解x₃=1-3^a，整體求解即可．

解答 解：∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（-x）=-f（x），
∵當x≥0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{3}}（x+1），x∈[0，2）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-7，x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，
得出x＜0時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（1-x），x∈（-2，0）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}+4x+7，x∈（-∞，-2]}\end{array}\right.$．
畫出圖象得出：
如圖從左向右零點為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
根據(jù)對稱性得出：x₁+x₂=-4×2=-8，
x₄+x₅=2×4=8，-$lo{g}_{\frac{1}{3}}$（-x₃+1）=a，
x₃=1-3^a，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-8+1-3^a+8=1-3^a，
故選：D．

點評 本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，圖象的運用，函數(shù)的零點與函數(shù)交點問題，考查了數(shù)形結合的能力，屬于中檔題．