Question

20．證明：
（1）$\frac{x}{x+1}$≤ln（x+1）≤x；
（2）e^x≥x+1．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，分類(lèi)討論，即可證明；令g（x）=x-ln（x+1），根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)g（x）的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）取得最小值為0，即g（x）≥0，從而證得不等式．
（2）首先構(gòu)造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行證明．

解答 證明：（1）令f（x）=（x+1）ln（x+1）-x，
則f′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
-1＜x＜0，f′（x）＜0，
∴f（x）在-1＜x＜0時(shí)單調(diào)遞減，
∴（x+1）ln（x+1）-x＜0成立，
∴$\frac{x}{x+1}$≤ln（x+1）；
x=0，等號(hào)成立；
x＞0，∴l(xiāng)n（x+1）＞ln1=0，
即f′（x）＞0，
∴f（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（0）=0
∴（x+1）ln（x+1）-x＞0成立，
∴$\frac{x}{x+1}$≤ln（x+1）．
令g（x）=x-ln（x+1），則它的導(dǎo)數(shù)為 g′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$．
當(dāng)0＞x＞-1時(shí)，g′（x）＜0，故函數(shù)g（x）在（-1，0）上是減函數(shù)．
當(dāng)x≥0時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，g′（x）=0，故函數(shù)g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
故當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值為0，
故有g(shù)（x）=x-ln（x+1）≥0，∴l(xiāng)n（x+1）≤x．
∴$\frac{x}{x+1}$≤ln（x+1）≤x；
（2）設(shè)f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0，f（x）=0．
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，
∴f（x）＞f（0）=0．
∴對(duì)x∈R都有f（x）≥0，
∴e^x≥x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，掌握并會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是關(guān)鍵，屬于中檔題．