Question

已知A_n⁵=56C_n⁷，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求a₁+2a₂+3a₃+…+na_n的值．
（Ⅲ） 求S=C_n⁰+3C_n¹+5C_n²+…+（2n-1）C_n^n-1+（2n+1）C_nⁿ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）由

A

5 n

=56

C

7 n

 利用組合數(shù)的計算公式化簡可得（n-5）（n-6）=90，解得n的值．
（Ⅱ）根據(jù)（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，兩邊求導(dǎo)數(shù)，再令x=1可得a₁+2a₂+3a₃+…+15a₁₅的值
（Ⅲ）根據(jù)S的解析式，再倒序?qū)懗�，兩式相加除�?，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得S的值．

解答： 解：（Ⅰ）由

A

5 n

=56

C

7 n

得：n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7•6•5•4•3•2•1

，
即（n-5）（n-6）=90，
解之得：n=15或n=-4（舍去），故n=15．
（Ⅱ）當(dāng)n=15時，由已知有：
（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，兩邊求導(dǎo)數(shù)，再令x=1可得a₁+2a₂+3a₃+…+15a₁₅=-30．
（Ⅲ）S=

C

0 n

+3

C

1 n

+5

C

2 n

+…+(2n-1)

C

n-1 n

+(2n+1)

C

n n

，S=(2n+1)

C

n n

+(2n-1)

C

n-1 n

+…+3

C

1 n

+

C

0 n

，
∴2S=(2n+2)(

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

)=2(n+1)2n，
∴S=（n+1）2ⁿ=16•2¹⁵=2¹⁹．

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，組合數(shù)的計算公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項(xiàng)式的x賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．