Question

設(shè)x，y滿足條件

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3

．
（1）求z=-x+y的最大值和最小值；
（2）求u=x²+y²的最大值與最小值．

Answer 1

分析：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義分別進(jìn)行求解即可．

解答：解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
（1）由z=-x+y，得y=x+z表示，斜率為1縱截距為Z的一組平行直線，
平移直線y=x+z，當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線y=x+z的截距最小，此時(shí)z最小，
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A或B時(shí)，此時(shí)直線y=x+z截距最大，z也最大．
畫出直線y=x
由

x=3 x+y=0

，解得

x=3 y=-3

，即C（3，-3），此時(shí)z_min=-3-3=-6．
由

x=3 x-y+5=0

，解得

x=3 y=8

，即B（3，8），此時(shí)z_max=-3+8=5．
（2）u=x²+y²表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）到（0，0）的距離的平方
由圖知，當(dāng)P位于原點(diǎn)時(shí)，u最小值為0，
當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)B（3，8）時(shí)，
u取得最大值u=9+64=73．

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用z的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，注意利用數(shù)形結(jié)合來解決．