Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知an+1=2Sn+2(n∈N*)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與an+1(n∈N*)之間插入n個(gè)1，構(gòu)成如下的新數(shù)列：a₁，1，a₂，1，1，a₃，1，1，1，a₄，…，求這個(gè)數(shù)列的前2012項(xiàng)的和；
（3）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為d_n的等差數(shù)列（如：在a₁與a₂之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₁；在a₂與a₃之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列，其公差為d₂，…以此類推），設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是A_n．是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g（n），使得A_n=g（n）d_n對(duì)任意n∈N^*恒成立？若存在，求出這個(gè)多項(xiàng)式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）設(shè)a_n=a₁q^n-1，
由a_n+1=2S_n+2，知

a1q=2a1+2 a1q2=2(a1+a1q)+2

，
解得

a1=2 q=3

，
故a_n=2×3^n-1…（6分）
（2）依題意，到a_n為止，新的數(shù)列共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

項(xiàng)，
令

n(n+1)

2

=2012，
得n=

-1+ 1+4024×4

2

≈62.9，
即到a₆₂為止，新的數(shù)列共有1+2+3+4+…+62=

62(62+1)

2

=1953項(xiàng)，
故該數(shù)列的前2012項(xiàng)的和為：
a₁+a₂+…+a₆₂+1+2+3+…+61+=

2×(1-362)

1-3

+1950=3⁶²+1949．
（3）依題意，d_n=

2×3n-2×3n-1

n+1

=

4×3n-1

n+1

，
A_n=

(2×3n+2×3n-1)(n+2)

2

=4（n+2）×3^n-1，
要使A_n=g（n）d_n，
則4（n+2）×3^n-1=g（n）×

4×3n-1

n+1

，
∴g（n）=（n+2）×（n+1）=n²+3n+2，
即存在g（n）=n²+3n+2滿足條件．