Question

已知正項(xiàng)等比數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+1＜a_n，S₃=

13

9

，a1a2a3=

1

27

．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列b_n=（2n+1）•a_n，其前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜6．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知列式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=（2n+1）•a_n，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，再放縮證明是列不等式．

解答： （1）解：{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，
設(shè)其公比為q，q＞0，
由a_n+1＜a_n，得a_nq＜a_n，∴0＜q＜1，
又a1a2a3=(a2)3=

1

27

，∴a2=

1

3

．
∵S3=a1+a2+a3=

a2

q

+a2+a2q=

13

9

，
∴3q²-10q+3=0，解得q=

1

3

或q=3．
則q=

1

3

，∴a₁=1．
∴an=(

1

3

)n-1；
（2）∵b_n=（2n+1）•a_n=

2n+1

3n-1

．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

3

30

+

5

31

+…+

2n-1

3n-2

+

2n+1

3n-1

．

1

3

Tn=

3

31

+

5

32

+…+

2n+1

3n

．
兩式作差得：

2

3

Tn=3+2•

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n

．
∴Tn=6-

n+2

3n-1

．
又∵n∈N^*，∴T_n＜6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．