如圖,橢圓的左頂點(diǎn)為,是橢圓上異于點(diǎn)的任意一點(diǎn),點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng).
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的值;
(2)若橢圓上存在點(diǎn),使得,求的取值范圍.
(Ⅰ). (Ⅱ).
解析試題分析:Ⅰ)解:依題意,是線段的中點(diǎn),因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2b/3/1vtbw4.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以 點(diǎn)的坐標(biāo)為. 2分
由點(diǎn)在橢圓上,所以 , 4分
解得 . 5分
(Ⅱ)解:設(shè),則 ,且. ① 6分
因?yàn)?是線段的中點(diǎn),
所以 . 7分
因?yàn)?,
所以 . ② 8分
由 ①,② 消去,整理得 . 10分
所以 , 12分
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),上式等號(hào)成立.又
所以 的取值范圍是. 13分
考點(diǎn):本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,均值定理的應(yīng)用。
點(diǎn)評(píng):中檔題,運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),a,b,c,e的關(guān)系要熟練掌握。曲線關(guān)系問(wèn)題,往往通過(guò)聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。涉及直線垂直問(wèn)題,利用斜率的坐標(biāo)運(yùn)算,得到m的表達(dá)式,利用均值定理得到其范圍。本題難度不大,綜合性較強(qiáng)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)為直線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中為切點(diǎn).
(1) 求拋物線的方程;
(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.
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已知是橢圓的左、右焦點(diǎn),是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),點(diǎn)也在橢圓上,且滿(mǎn)足(是坐標(biāo)原點(diǎn)),,若橢圓的離心率為.
(1)若的面積等于,求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與(1)中的橢圓相交于不同的兩點(diǎn),已知點(diǎn)的坐標(biāo)為(),點(diǎn)在線段的垂直平分線上,且,求的值.
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橢圓的離心率為,兩焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)M是橢圓C上一點(diǎn),的周長(zhǎng)為16,設(shè)線段MO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與圓交于點(diǎn)N,且線段MN長(zhǎng)度的最小值為.
(1)求橢圓C以及圓O的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷直線與圓O的位置關(guān)系.
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求傾斜角是直線y=-x+1的傾斜角的,且分別滿(mǎn)足下列條件的直線方程:(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,-1);(2)在y軸上的截距是-5.
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已知點(diǎn)B(0,1),點(diǎn)C(0,—3),直線PB、PC都是圓的切線(P點(diǎn)不在y軸上).
(I)求過(guò)點(diǎn)P且焦點(diǎn)在x軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)過(guò)點(diǎn)(1,0)作直線與(I)中的拋物線相交于M、N兩點(diǎn),問(wèn)是否存在定點(diǎn)R,使為常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)R的坐標(biāo)與常數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓:的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè),、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連結(jié)交橢圓于另一點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,證明直線與軸相交于定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上.若橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)、的距離之和等于4.
(1)寫(xiě)出橢圓的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo).
(2)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、,當(dāng)的面積取得最大值時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且滿(mǎn)足(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求整數(shù)的最大值.
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