已知點B(0,1),點C(0,—3),直線PB、PC都是圓的切線(P點不在y軸上).
(I)求過點P且焦點在x軸上拋物線的標準方程;
(II)過點(1,0)作直線與(I)中的拋物線相交于M、N兩點,問是否存在定點R,使為常數(shù)?若存在,求出點R的坐標與常數(shù);若不存在,請說明理由。
(I) (II)存在定點R(0,0),相應的常數(shù)是
解析試題分析:(I)設(shè)直線PC的方程為:,
由所以PC的方程為
由得P點的坐標為(3,1)。
可求得拋物線的標準方程為
(II)設(shè)直線l的方程為,代入拋物線方程并整理得
11分
當時上式是一個與m無關(guān)的常數(shù)
所以存在定點R(0,0),相應的常數(shù)是
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題;平面向量數(shù)量積的運算;拋物線的標準方程.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題,通常有兩種方法:一是轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題,利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后,將交點問題(包括公共點個數(shù)、與交點坐標有關(guān)的問題)轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題;二是運用數(shù)形結(jié)合的思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知的頂點A在射線上,、兩點關(guān)于x軸對稱,0為坐標原點,且線段AB上有一點M滿足當點A在上移動時,記點M的軌跡為W.
(Ⅰ)求軌跡W的方程;
(Ⅱ)設(shè)是否存在過的直線與W相交于P,Q兩點,使得若存在,
求出直線;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點,直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設(shè)A,B是C上的兩個動點,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點,線段AB的中點M在直線l上.
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若直線與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且(其中O為原點). 求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,橢圓的左頂點為,是橢圓上異于點的任意一點,點與點關(guān)于點對稱.
(1)若點的坐標為,求的值;
(2)若橢圓上存在點,使得,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
設(shè)圓的極坐標方程為,以極點為直角坐標系的原點,極軸為軸正半軸,兩坐標系長度單位一致,建立平面直角坐標系.過圓上的一點作平行于軸的直線,設(shè)與軸交于點,向量.
(Ⅰ)求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點 ,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線的焦點在拋物線上.
(1)求拋物線的方程及其準線方程;
(2)過拋物線上的動點作拋物線的兩條切線、, 切點為、.若、的斜率乘積為,且,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
已知橢圓,直線l為圓的一條切線,且經(jīng)過橢圓C的右焦點,直線l的傾斜角為,記橢圓C的離心率為e.
(1)求e的值;
(2)試判定原點關(guān)于l的對稱點是否在橢圓上,并說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
橢圓C以拋物線的焦點為右焦點,且經(jīng)過點A(2,3).
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若分別為橢圓的左右焦點,求的角平分線所在直線的方程.
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