Question

10．已知函數(shù)f_n（x）=$\frac{{{x^2}-2x-a}}{{{e^{nx}}}}$，其中n∈N*，a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零點(diǎn)；
（Ⅱ）若對任意n∈N*，f_n（x）均有兩個極值點(diǎn)，一個在區(qū)間（1，4）內(nèi)，另一個在區(qū)間[1，4]外，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）=$\frac{（{x}^{2}-2x-a）（{e}^{x}-1）}{{e}^{2x}}$，令g（x）=0，即x=0；或 x²-2x-a=0；△=4+4a，分情況討論可解得零點(diǎn)；
（II）f_n′（x）=$\frac{-n{x}^{2}+2（n+1）x+na-2}{{e}^{nx}}$，設(shè)g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開口向下的拋物線，g_n（x）=0有兩個不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且x₁∈[1，4]，x₂∉[1，4]則g_n（1）g_n（4）＜0，即可推得-1＜a＜（8-$\frac{6}{n}$）_min，故-1＜a＜2．

解答 解：（I）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=$\frac{{x}^{2}-2x-a}{{e}^{x}}$-$\frac{{x}^{2}-2x-a}{{e}^{2x}}$=$\frac{（{x}^{2}-2x-a）（{e}^{x}-1）}{{e}^{2x}}$，
令g（x）=0，有e^x-1=0，即x=0；或x²-2x-a=0；△=4+4a，
①當(dāng)a＜1時，△＜0函數(shù)g（x）有1個零點(diǎn) x₁=0；  
②當(dāng)a=-1時，△=0函數(shù)g（x）有2個零點(diǎn)x₁=0，x₂=1；
③當(dāng)a=0時，△＞0函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)x₁=0，x₂=2；
④當(dāng)a＞-1，a≠0時，△＞0函數(shù)g（x）有三個零點(diǎn)：
x₁=0，x₂=1-$\sqrt{a+1}$，x₃=1+$\sqrt{a+1}$；
（II）f_n′（x）=$\frac{（2x-2）{e}^{nx}-n（{x}^{2}-2x-a）{e}^{nx}}{{e}^{nx}}$=$\frac{-n{x}^{2}+2（n+1）x+na-2}{{e}^{nx}}$，
設(shè)g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的圖象是開口向下的拋物線，
由題意對任意n∈N^*，g_n（x）=0有兩個不等實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∉[1，4]，則對任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，
即n•（a+1）•n•[a-（8-$\frac{6}{n}$）]＜0，有（a+1）[a-（8-$\frac{6}{n}$）]＜0，
又任意n∈N^*，8-$\frac{6}{n}$關(guān)于n遞增，8-$\frac{6}{n}$≥8-6=2，
故-1＜a＜（8-$\frac{6}{n}$）_min，所以-1＜a＜2．
所以a的取值范圍是（-1，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于難題．