Question

5．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，過圓x²+y²=1上一點做圓的切線，交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，求△ABF的周長．

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁，x₂＞0），在△OQA中，由|AQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，|BQ|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，求出|AB|+|AF|+|BF|=2a，由此能求出△ABF的周長．

解答 解：如圖示：
，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則AQ²=OA²-OQ²=${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$-1=$\frac{1}{2}$${{x}_{1}}^{2}$，
∴AQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，
同理：BQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂，
而AF=2a-$\sqrt{{{（x}_{1}+1）}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2），
同理：BF=2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₂+2），
∴AB+AF+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁+$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₂+2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₁+2）+2$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x₂+2）=2$\sqrt{2}$，
∴△ABF的面積是：2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查三角形周長的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓簡單性質(zhì)的靈活運用．