Question

20．如圖，已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線為直線x=-1，過點D（a，0）（a＞0）的動直線l交拋物線E于A，B兩點．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）若以線段AB為直徑的圓恒過拋物線E上的某定點C（異于A，B兩點），求a的值和點C的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線中變量p，即可得到拋物線方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my+a與拋物線聯(lián)立方程組，利用判別式大于0，得到關(guān)系式，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），利用韋達定理連結(jié)斜率的數(shù)量積為0，推出方程組求出a的值4，推出點C的坐標．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線E：y²=2px（p＞0）的準線為直線x=-1，
∴$-\frac{p}{2}=-1$，∴p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x．                   …（3分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為：x=my+a
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}x=my+a\\{y}^{2}=4x\end{array}\right.$，消去x得：y²-4my-4a=0           …（4分）
△=（-4m）²-4×1×（-4a）=16m²+16a＞0           …（5分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，y₀²=4x₀．…（6分）
$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=（{{x}_{1}-x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）+（{y}_{1}-{y}_{0}）（{y}_{2}-{y}_{0}）$         …（7分）
=（my₁+a-x₀）（my₂+a-x₀）+（y₁-y₀）（y₂-y₀）
=（m²+1）y₁y₂+[m（a-x₀）-y₀]（y₁+y₂）+（a-x₀）²+y₀²
=-4a（m²+1）+4m（ma-mx₀-y₀）+（a-x₀）²+y₀²
=-m²y₀²-4my₀+${a}^{2}-4a+\frac{1}{16}{y}_{0}^{4}+（1-\frac{1}{2}a）{y}_{0}^{2}$         …（9分）
∵以線段AB為直徑的圓恒過拋物線E上的某定點C（異于A，B兩點）
∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$對任意實數(shù)m恒成立                    …（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-{y}_{0}^{2}=0\\-4{y}_{0}=0\\{a}^{2}-4a+\frac{1}{16}{y}_{0}^{4}+（1-\frac{1}{2}a）{y}_{0}^{2}=0\end{array}\right.$                …（11分）
又a＞0，y₀²=4x₀，∴x₀=y₀=0，a=4．
所以a的值為4，點C的坐標為（0，0）．                …（12分）

點評 本題主要考查直線、拋物線、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程思想等．