Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x+alnx（a＞0）$
（1）若a=1，求f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）若f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，求證：$f（{x_1}）+f（{x_2}）＞-\frac{3+2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 （1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，切線(xiàn)的斜率，然后求解切線(xiàn)方程．
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)必然滿(mǎn)足：f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立；把a(bǔ)表示成x的函數(shù)，再求出該函數(shù)的最值，從而求出a的取值范圍；
（3）利用導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根，通過(guò)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化函數(shù)值，利用（2）的結(jié)果，列出關(guān)系式求解即可．

解答 解：（1）$a=1，f（1）=-\frac{1}{2}$，函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-x+alnx（a＞0）$，
可得f′（x）=x-1+$\frac{1}{x}$，
∴f'（1）=1，
∴切線(xiàn)方程為2x-2y-3=0；
（2）$f'（x）=x-1+\frac{a}{x}$依題意有f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
即a≤-x²+x或a≥-x²+x在（0，+∞）上恒成立，
顯然a≤-x²+x不可能恒成立，
∴a≥-x²+x，
解得$a≥\frac{1}{4}$；
（3）由$f'（x）=x-1+\frac{a}{x}$，f'（x）=0得x²-x+a=0，即x₁，x₂是f'（x）=0的兩根，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=a，$f（{x_1}）+f（{x_2}）=\frac{1}{2}x_1^2-{x_1}+aln{x_1}+\frac{1}{2}x_2^2-{x_2}+aln{x_2}$=$\frac{1}{2}{（{x_1}+{x_2}）^2}-（{x_1}+{x_2}）-{x_1}{x_2}+aln{x_1}{x_2}$=$\frac{1}{2}-1-a+alna=-\frac{1}{2}-a+alna$，
由已知$a＜\frac{1}{4}$，∴$-a＞-\frac{1}{4}$$lna＞ln\frac{1}{4}=-2ln2$，∴$alna＞-2aln2＞-\frac{ln2}{2}$，
∴$f（{x_1}）+f（{x_2}）＞-\frac{3+2ln2}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求單調(diào)區(qū)間，求最值，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用．是一道導(dǎo)數(shù)的綜合題．屬于中檔題．