Question

5．已知f（x）是定義R在上的偶函數(shù)，且f（x+1）=-f（x），若f（x）在[-1，0]上單調(diào)遞減，則f（x）在[1，3]上是（　　）

• A． 增函數(shù)
• B． 減函數(shù)
• C． 先增后減的函數(shù)
• D． 先減后增的函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先由f（x+1）=-f（x）確定函數(shù)的周期為2，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與在[-1，0]上單調(diào)遞減，分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數(shù)的周期是2；
又f（x）在定義域R上是偶函數(shù)，在[-1，0]上是減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，3]上是先減后增的函數(shù)；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的周期性，關(guān)鍵是求出函數(shù)的周期．