Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：x+y=4，曲線${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），過原點O的直線l分別交C₁，C₂于A，B兩點，則$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值為$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．

Answer 1

分析 求出曲線${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）的普通方程，設(shè)直線方程為kx-y=0，求出|OA|，|OB|，即可求出$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值．

解答 解：曲線${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），普通方程為（x-1）²+y²=1．
設(shè)直線方程為kx-y=0，圓心到直線的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，∴|OB|=2$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
kx-y=0與x+y=4聯(lián)立，可得A（$\frac{4}{k+1}$，$\frac{4k}{k+1}$），∴|OA|=$\sqrt{\frac{16（1+{k}^{2}）}{（k+1）^{2}}}$，
∴$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$=$\frac{k+1}{2（{k}^{2}+1）}$，
設(shè)k+1=t（t＞0），則$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$=$\frac{1}{2t+\frac{4}{t}-4}$≤$\frac{1}{4\sqrt{2}-4}$=$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．
∴$\frac{{|{OB}|}}{{|{OA}|}}$的最大值為$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．
故答案為$\frac{{\sqrt{2}+1}}{4}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查距離的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．