Question

已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇0，+∞），且對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，且x＞0時(shí)f（x）＜3．
（1）求f（0）；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性，并給出證明；
（3）若f（1）=1且f（x²-x）+f（8-5x）≥0，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，x=y=0直接求解f（0）即可；
（2）根據(jù)定義進(jìn)行直接判定，設(shè)x₁＞x₂≥0，則f（x₁）-f（x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f（x₂）=f（x₂）+f（x₁-x₂）-f（x₂）-3=f（x₁-x₂）-3然后判斷符號(hào)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）先根據(jù)已知條件得到f（3）=-3，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將所求不等式轉(zhuǎn)化為0≤x²-6x+8≤3，從而可求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，
∴令x=0，y=0，得f（0）=2f（0）-3，
∴f（0）=3；
（2）設(shè)x₁＞x₂≥0，則f（x₁）-f（x₂）=f[x₂+（x₁-x₂）]-f（x₂）=f（x₂）+f（x₁-x₂）-f（x₂）-3=f（x₁-x₂）-3，
∵x₁-x₂＞0 且當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜3，則f（x₁-x₂）＜3
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在定義域上單調(diào)遞減，
（3）由f（x）定義域得x²-x≥0，8-5x≥0，解得 x∈（-∞，0]∪[1，

8

5

]…①
∵對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-3，
∴f（x²-x）+f（8-5x）=f（x²-6x+8）+3≥0，
即f（x²-6x+8）≥-3，
∵f（1）=1 則f（2）=1+1-3=-1，f（3）=f（1）+f（2）-3=-3
不等式可以化為f（x²-6x+8）≥f（3），
∵f（x）在定義域上單調(diào)遞減，
∴0≤x²-6x+8≤3，
解得x∈[1，2]∪[4，5]…②
綜合①②可得，x取值范圍是[1，

8

5

]．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題，考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中一定注意函數(shù)的定義域，解決抽象函數(shù)的問(wèn)題一般應(yīng)用賦值法．