Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，若S₃₀=13S₁₀，S₁₀+S₃₀=140，則S₂₅的值為45$\sqrt{3}$-5或-45$\sqrt{3}$-5．

Answer 1

分析 首先根據(jù)題意求出S₁₀=10，S₃₀=130，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，得到q¹⁰=3，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-5，然后利用等比數(shù)列的求和公式得到答案．

解答 解：因為S₃₀=13S₁₀，S₁₀+S₃₀=140，
所以S₁₀=10，S₃₀=130．
∵數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q¹⁰）=10，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q³⁰）=130，
∴q²⁰+q¹⁰-12=0，
∴q¹⁰=3或q¹⁰=-4（舍去），
∴$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-5，
∴S₂₅=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q²⁵）=$（-5）×[1-（\sqrt{3}）^{5}]$=45$\sqrt{3}$-5．或S₂₅=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$（1-q²⁵）=-45$\sqrt{3}$-5．
故答案為45$\sqrt{3}$-5或-45$\sqrt{3}$-5．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列的求和．解題的關(guān)鍵是利用了等比數(shù)列的求和公式，得到q¹⁰=3，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-5．