Question

3．已知拋物線y²=4x，過其焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，M為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，tan∠AMB=$\frac{4}{3}$，則|AB|=16．

Answer 1

分析 設(shè)AB方程y=k（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，利用tan∠AMB=$\frac{4}{3}$，建立k的方程，求出k，即可得出結(jié)論．

解答 解：焦點(diǎn)F（1，0），M（-1，0），設(shè)AB方程y=k（x-1），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵tan∠AMB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=$\frac{4}{3}$，
整理可得2k（x₁-x₂）=$\frac{4}{3}$（x₁+1）（x₂+1）+$\frac{4}{3}$y₁y₂…（*）
y=k（x-1），與y²=4x聯(lián)立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
可得x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，y₁y₂=-4
代入（*）可得2k（x₁-x₂）=$\frac{4}{3}$•$\frac{4}{{k}^{2}}$，∴x₁-x₂=$\frac{8}{3{k}^{3}}$，
∴（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）²-4=（$\frac{8}{3{k}^{3}}$）²，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=14，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{196-4}$=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．