Question

14．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對?n∈N^*有2S_n=a_n²+a_n．令b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}+{a_{n+1}}\sqrt{a_n}}}$，設(shè){b_n}的前n項和為T_n，則在T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理數(shù)的個數(shù)為9．

Answer 1

分析 利用a_n=S_n-S_n-1整理計算可知a_n-a_n-1=1，進(jìn)而可知數(shù)列{a_n}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，裂項可知b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，并項相加可知T_n=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，進(jìn)而只需當(dāng)1≤n≤100時n+1=t²即可，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：∵2S_n=a_n²+a_n，
∴當(dāng)n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=（a_n²+a_n）-（a_n-1²+a_n-1），
整理得：（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1）=a_n+a_n-1，
又∵數(shù)列{a_n}的每項均為正數(shù)，
∴a_n-a_n-1=1，
又∵${2a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，即a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項、公差均為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}+{a_{n+1}}\sqrt{a_n}}}$=$\frac{1}{\sqrt{n（n+1）}}$•$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n（n+1）}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
要使得T_n為有理數(shù)，只需$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$為有理數(shù)即可，即n+1=t²，
∵1≤n≤100，
∴t=3、8、15、24、35、48、63、80、99，
即在T₁，T₂，T₃，…，T₁₀₀中有理數(shù)的個數(shù)為9個，
故答案為：9．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．