Question

5．設(shè)集合S_n={1，2，3，…，n}，若Z是S_n的子集，把Z中的所有數(shù)的和稱為Z的“容量”（規(guī)定空集的容量為0）．若Z的容量為奇（偶）數(shù)，則稱Z為S_n的奇（偶）子集．
命題①：S_n的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等；
命題②：當(dāng)n≥3時(shí)，S_n的所有奇子集的容量之和與所有偶子集的容量之和相等
則下列說法正確的是（　�。�

• A． 命題①和命題②都成立
• B． 命題①和命題②都不成立
• C． 命題①成立，命題②不成立
• D． 命題①不成立，命題②成立

Answer 1

分析 ①設(shè)S為S_n的奇子集，根據(jù)奇子集和偶子集的定義，得到奇子集和偶子集之間的關(guān)系，分析即可證得結(jié)論；
②求得奇子集的容量之和，從而得到偶子集的容量之和，即可得到結(jié)論．

解答 解：①設(shè)S為S_n的奇子集，令T是偶子集，A→T是奇子集的集到偶子集的一一對應(yīng)，而且每個(gè)偶子集T，均恰有一個(gè)奇子集與之對應(yīng)，故S_n的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等，正確；
②對任一i（1≤i≤n），含i的子集共有2^n-1個(gè)，S_n的奇子集與偶子集個(gè)數(shù)相等可知，
在i≠1時(shí)，這2^n-1個(gè)子集中有一半時(shí)奇子集，
在i=1時(shí)，由于n≥3，將上邊的1換成3，同樣可得其中有一半時(shí)奇子集，
于是在計(jì)算奇子集容量之和時(shí)，奇子集容量之和是$\sum_{i=1}^{n}$2^n-2i=n（n+1）•2^n-3，
根據(jù)上面所說，這也是偶子集的容量之和，兩者相等，
故當(dāng)n≥3時(shí)，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．正確．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查集合的子集，是新定義的題型，關(guān)鍵是正確理解奇、偶子集與容量的概念．在解答過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了新定義問題的規(guī)律、列舉的方法還有問題轉(zhuǎn)化的思想．值得同學(xué)們體會反思．屬于難題．