Question

6．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁（側(cè)棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面△A₁B₁C₁是正三角形）內(nèi)接于球O，AB₁與底面A₁B₁C₁所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積是2$\sqrt{3}$cm³，則球O的表面積是（　　）

• A． $\frac{28π}{3}$cm²
• B． $\frac{14π}{3}$cm²
• C． $\frac{56π}{3}$cm²
• D． $\frac{7π}{3}$cm²

Answer 1

分析 利用AB₁與底面A₁B₁C₁所成的角是45°，若正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積是2$\sqrt{3}$cm³，求出正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底邊長、高，進而求出底面△A₁B₁C₁的外接圓的半徑，球O的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底邊長為a，則
∵AB₁與底面A₁B₁C₁所成的角是45°，
∴高為a，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積是2$\sqrt{3}$cm³，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•{a}^{2}•a$=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，
∴底面△A₁B₁C₁的外接圓的半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的半徑為$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴球O的表面積是4πR²=$\frac{28π}{3}$cm²，
故選：A．

點評 本題考查球O的表面積，考查學生的計算能力，正確求出球O的半徑是關鍵．