Question

14．已知{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=2ⁿ•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用{a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．得到a₂，a₄，再求首項(xiàng)和公差，進(jìn)一步求通項(xiàng)公式
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求和．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閧a_n}是遞增的等差數(shù)列，a₂，a₄是方程x²-5x+6=0的根．
所以a₂=2，a₄=3，所以公差為$\frac{1}{2}$，所以${a_n}=\frac{1}{2}n+1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得到b_n=2ⁿ•a_n=2ⁿ•（$\frac{1}{2}$n+1）=2^n-1（n+2），
所以數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=1×3+2¹×4+2²×5+…+2^n-2（n+1）+2^n-1（n+2），①
                   2T_n=2×3+2²×4+2³×5+…+2^n-1（n+1）+2ⁿ（n+2）；②
①-②得，-T_n=3+2+2²+2³+…+2^n-1-2ⁿ（n+2）=3+$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}-{2}^{n}（n+2）$=1-（n+1）2ⁿ．
所以${T_n}=（n+1）{2^n}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；屬于中檔題．