Question

2．若直線(xiàn)2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，則a²+b²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得到a+b=1由此利用均值定理能求出當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，a²+b²取最小值$\frac{1}{2}$．

解答 解：∵圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心（-1，2），半徑r=$\frac{1}{2}\sqrt{4+16-4}$=2，
直線(xiàn)2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圓x²+y²+2x-4y+1=0截得的弦長(zhǎng)為4，
∴圓心（-1，2）到直線(xiàn)2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）的距離：
d=$\frac{|-2a-2b+2|}{\sqrt{4{a}^{2}+^{2}}}$=0，
∴a+b=1，∴a²+b²=1-2ab，
∵a＞0，b＞0，
∴a²+b²=1-2ab≥1-$\frac{（a+b）^{2}}{2}$=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=b=$\frac{1}{2}$時(shí)，a²+b²取最小值$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、均值定理的合理運(yùn)用．