Question

6．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面對(duì)角線(xiàn)AB₁與體對(duì)角線(xiàn)BD₁所成角等于$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出面對(duì)角線(xiàn)AB₁與體對(duì)角線(xiàn)BD₁所成角的大�。�

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為1，
則A（1，0，0），B₁（1，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-1，1），
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0-1+1=0，
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0，
∴面對(duì)角線(xiàn)AB₁與體對(duì)角線(xiàn)BD₁所成角為$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線(xiàn)所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．