Question

19．已知函數y=xf′（x）（f′（x）是函數f（x）的導函數）的圖象如圖所示，則y=f（x）的大致圖象可能是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據題意，設函數y=xf′（x）與x軸負半軸交于點M（m，0），且-2＜m＜-1；與x軸正半軸交于點N（1，0），結合函數y=xf′（x）的圖象分段討論y=f′（x）的符號，進而分析函數y=f（x）的單調性，分析選項即可得答案．

解答 解：根據題意，設函數y=xf′（x）與x軸負半軸交于點M（m，0），且-2＜m＜-1；與x軸正半軸交于點N（1，0），
當x＜m時，x＜0而y=xf′（x）＜0，則有y=f′（x）＞0，函數y=f（x）在（-∞，m）上為增函數；
當m＜x＜0時，x＜0而y=xf′（x）＞0，則有y=f′（x）＜0，函數y=f（x）在（m，0）上為減函數；
當0＜x＜1時，x＞0而y=xf′（x）＜0，則有y=f′（x）＜0，函數y=f（x）在（0，1）上為減函數；
當x＞1時，x＞0而y=xf′（x）＞0，則有y=f′（x）＞0，函數y=f（x）在（1，+∞）上為增函數；
分析選項可得：C符合；
故選：C．

點評 本題考查函數的導數與函數單調性的關系，涉及函數的圖象以及單調性，關鍵是分析出導數的符號．