Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁＞2，a_n+1-1=a_n（a_n-1）（n∈N^*），且$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$=1，則a₂₀₁₃-4a₁的最大值為-12．

Answer 1

分析 通過(guò)對(duì)a_n+1-1=a_n（a_n-1）兩邊同時(shí)取倒數(shù)可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，累加可知1=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$，化簡(jiǎn)得：a₂₀₁₃=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$，利用基本不等式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，由a_n+1-1=a_n（a_n-1）可知$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
整理得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴1=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2012}}$
=（$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2}-1}$）+（$\frac{1}{{a}_{2}-1}$-$\frac{1}{{a}_{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{a}_{2012}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$）
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2013}-1}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-1=$\frac{2-{a}_{1}}{{a}_{1}-1}$，
化簡(jiǎn)得：a₂₀₁₃=$\frac{1}{2-{a}_{1}}$=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$，
∴a₂₀₁₃-4a₁=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$-4a₁
=-$\frac{1}{{a}_{1}-2}$-4（a₁-2）-8
=-[$\frac{1}{{a}_{1}-2}$+4（a₁-2）]-8
≤-2$\sqrt{\frac{1}{{a}_{1}-2}•4（{a}_{1}-2）}$-8（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=4（a₁-2）即a₁=$\frac{5}{2}$時(shí)取等號(hào)）
=-12，
故答案為：-12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及基本不等式，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．