Question

18．在正三角形ABC中，E、F、P分別是-AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P（如圖2）

（1）求證：FP∥平面A₁EB．
（2）求證：A₁E⊥平面BEP；
（3）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）證明FP∥BE，利用直線與平面平行的判定定理證明FP∥平面A₁EB．
（2）不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3．取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF．證明ADF是正三角形．推出A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．證明A₁E⊥BE．然后證明A₁E⊥平面BEP．
（3）設(shè)A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點(diǎn)Q，說明∠EA₁Q就是A₁E與平面A₁BP所成的角，在Rt△A₁EQ，求解即可．

解答 （本小題滿分14分）
（1）證明：∵CP：PB=CF：FA，
∴FP∥BE．…（1分）
∵BE?平面A₁EB，…（2分）
FP?平面A₁EB，…（3分）
∴FP∥平面A₁EB．…（4分）
（2）證明：不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為 3．
在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF．
∵AE：EB=CF：FA=1：2，
∴AF=AD=2．…（5分）
而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．
又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（6分）
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．…（7分）
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE．
又BE、EF?平面BEF，BE∩EF=E，
∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．…（8分）
（3）在圖2中，∵A₁E⊥平面BEP，∴A₁E⊥BP，
設(shè)A₁E在平面A₁BP內(nèi)的射影為A₁Q，且A₁Q交BP于點(diǎn)Q，
則可得BP⊥平面A₁EQ，∴BP⊥A₁Q．
則∠EA₁Q就是A₁E與平面A₁BP所成的角，…（10分）
在△EBP中，∵BE=BP=2，∠EBP=60°，
∴△EBP是等邊三角形，∴BE=EP．
又A₁E⊥平面BEP，∴A₁B=A₁P，∴Q為BP的中點(diǎn)，且EQ=$\sqrt{3}$．…（12分）
又A₁E=1，在Rt△A₁EQ，tan∠EA₁Q=$\frac{EQ}{{{A_1}E}}=\sqrt{3}$，∴∠EA₁Q=60°．
所以直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60°．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面說出來以及二面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查折疊與展開關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．