Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{10}}{5}$
• C． 2
• D． 5

Answer 1

分析 直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為：x+2y=0，設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），由此能求出點(diǎn)P到直線l的距離的最大值．

解答 解：直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4-2t}\\{y=t-2}\end{array}\right.$消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為：x+2y=0，
∵P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上任意一點(diǎn)，∴設(shè)P（2cosθ，sinθ），（0≤θ＜2π），
點(diǎn)P到直線l的距離：
d=$\frac{|2cosθ+2sinθ|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）|}{\sqrt{5}}$，
∴當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{4}$）=1時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離取最大值d_max=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離的最大值的求法，考查參數(shù)方程、平面直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線距離公式、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．